Leopold Kronecker

Nació el 7 de diciembre de 1823 en Liegnitz, Prusia (ahora Legnica, Polonia), y falleció el 29 de diciembre de 1891 en Berlín, Alemania. Los padres de Leopold tenían una situación económica holgada; su padre, Isidor Kronecker, fue un exitoso hombre de negocios y su madre, Johanna Prausnitzer, también provenía de una familia acomodada. La familia era judía, religión que Kronecker mantuvo hasta un año antes de su muerte, cuando se convirtió al Cristianismo. Los padres de Kronecker emplearon tutores privados para educarlo hasta el momento en que ingresó al Gymnasium (bachillerato) en Liegnitz. Sus tutores sentaron bases muy sólidas en su educación. Kronecker aprendió matemáticas en el Gymnasium de Liegnitz con Kummer y fue gracias a Kummer que Kronecker se interesó en las matemáticas. Kummer reconoció inmediatamente el talento de Kronecker para las matemáticas y lo condujo bastante más allá de lo que se esperaba en la escuela, animándolo a encaminarse a la investigación. A pesar de su educación judía, Kronecker recibió instrucción religiosa evangélica en el Gymnasium, lo que mostró una actitud muy abierta por parte de sus padres en cuestiones religiosas.

Kronecker ingresó como estudiante a la Universidad de Berlín en 1841 donde estudió con Dirichlet y Steiner. No se restringió a estudiar matemáticas, sino que también estudió materias como astronomía, meteorología y química. Le interesaba particularmente la filosofía para estudiar las obras filosóficas de Descartes, Leibniz, Kant, Spinoza y Hegel. Después de pasar el verano de 1843 en la Universidad de Bonn, a donde fue más por su interés en la astronomía que en las matemáticas, visitó la Universidad de Breslau durante el semestre de invierno de 1843-44. La razón por la que fue a Breslau fue ciertamente por su interés en las matemáticas pues deseaba volver a estudiar con su viejo maestro Kummer, que había obtenido una cátedra en Breslau en 1842. 

 Kronecker pasó un año en Breslau antes de regresar a Berlín para el semestre de invierno de 1844-45. De vuelta en Berlín trabajó en su tesis doctoral sobre teoría algebraica de números bajo la supervisión de Dirichlet. La tesis, Sobre unidades complejas fue presentada el 30 de julio de 1845 e hizo el examen el 14 de agosto. Dirichlet comentó la tesis diciendo que en ella Kronecker mostró: ... penetración poco usual, gran asiduidad y un conocimiento exacto del estado actual de las matemáticas superiores.

Puede resultar una sorpresa para muchos estudiantes de doctorado saber que Kronecker fue examinado oralmente sobre una amplia variedad de temas que incluyeron teoría de probabilidad aplicada a observaciones astronómicas, teoría de integrales definidas, series y ecuaciones diferenciales, así como sobre los griegos y la historia de la filosofía.

Jacobi tenía problemas de salud que lo obligaron a abandonar Königsberg, donde ocupaba una cátedra, y a regresar a Berlín. Eisenstein, cuya salud también era frágil, enseñaba en Berlín por esos días y Kronecker acabó conociéndolos muy bien a ambos. La dirección hacia la que más tarde se encaminaron los intereses matemáticos de Kronecker tuvo mucho que ver con la influencia de Jacobi y Eisenstein en aquella época. Sin embargo, justamente cuando parecía que se embarcaría en una carrera académica, Kronecker abandonó Berlín para ocuparse de asuntos familiares. Ayudó a administrar el negocio bancario del hermano de su madre y, en 1848, se casó con la hija de su tío, Fanny Prausnitzer. También administraba una propiedad de la familia, pero aun así encontraba tiempo para continuar trabajando en matemáticas, aunque sólo lo hacía para su propio solaz.

Ciertamente Kronecker no necesitaba un empleo remunerado, puesto que ahora era un hombre rico. Su gozo por las matemáticas era, sin embargo, tal que, cuando cambiaron las circunstancias en 1855 y ya no tuvo que vivir en la finca fuera de Liegnitz, regresó a Berlín. No deseaba un puesto universitario, sino más bien tomar parte en la vida matemática de la universidad y emprender investigación interactuando con los otros matemáticos.

En 1855 Kummer llegó a Berlín a ocupar una plaza vacante que quedó cuando Dirichlet se fue a Göttingen. Borchardt había enseñado en Berlín desde 1848 y, hacia finales de 1855, se hizo cargo como editor del Crelle Journal al fallecer Crelle. En 1856 Weierstrass llegó a Berlín, así que a un año del regreso de Kronecker a Berlín, el notable equipo formado por Kummer, Borchardt, Weierstrass y Kronecker estaba ubicado en Berlín.

Por supuesto, al no contar Kronecker en esas fechas con una posición universitaria, no enseñaba, pero estaba notablemente activo en investigación, y publicaba un gran número de artículos, uno tras otro. Éstos versaban sobre teoría de números, funciones elípticas y álgebra, pero, de manera más importante, exploraba las conexiones entre estos temas. Kummer propuso a Kronecker para ingresar a la Academia de Berlín en 1860, y la propuesta fue secundada por Borchardt y Weierstrass. El 23 de enero de 1861 Kronecker resultó electo miembro de la Academia lo que le atrajo sorprendentes beneficios.

Los miembros de la Academia de Berlín tenían derecho de enseñar en la Universidad de Berlín. Aunque Kronecker no estaba empleado en la Universidad, ni en ninguna otra organización para esos asuntos, Kummer sugirió que Kronecker ejerciera su derecho de enseñar en la Universidad, cosa que hizo a partir de octubre de 1862. Los temas sobre los que enseñaba estaban muy relacionados con su investigación: teoría de números, teoría de ecuaciones, teoría de determinantes y teoría de integrales. En sus  clases intentaba simplificar y refinar las teorías existentes y presentarlas desde nuevas perspectivas.

Para los mejores estudiantes, sus clases eran exigentes y estimulantes. Sin embargo, no era un maestro muy popular con los estudiantes medianos: Kronecker no atraía gran número de estudiantes. Sólo unos cuantos de sus oyentes eran capaces de seguir los altos vuelos de su pensamiento, y sólo unos cuantos perseveraban hasta el final del semestre.

Berlín le resultaba atractivo a Kronecker, tanto que cuando le ofrecieron una cátedra de matemáticas en Göttingen en 1868, la declinó. Aceptaba honores tales como su elección como miembro de la Academia de París ese año y por muchos años disfrutó de buenas relaciones con sus colegas en Berlín y en otras partes. Para poder entender por qué sus relaciones empezaron a deteriorarse en la década de 1870 necesitamos examinar con más detalle las contribuciones matemáticas de Kronecker. Ya hemos indicado que las principales contribuciones de Kronecker fueron en teoría de ecuaciones y en álgebra superior, con sus contribuciones más importantes en funciones elípticas, la teoría de ecuaciones algebraicas y la teoría algebraica de números. Sin embargo, los temas que estudiaba estaban restringidos por el hecho de que él creía en la reducción de todas las matemáticas a argumentos que involucran solamente a los enteros y a un número finito de pasos.

Kronecker creía que las matemáticas deberían tratar solamente con números finitos y con un número finito de operaciones. Él fue el primero en dudar del significado de las pruebas de existencia no constructivas. Parece que desde principios de la década de 1870, Kronecker se oponía al uso de los números irracionales, de los límites superiores e inferiores y del teorema de Bolzano-Weierstrass, debido a su naturaleza no constructiva. Otra consecuencia de su filosofía de las matemáticas fue que para Kronecker los números trascendentes no podían existir.

En 1870 Heine publicó un artículo llamado Sobre series trigonométricas en el Crelle Journal, pero Kronecker trató de persuadir a Heine de retirar el artículo. Otra vez, en 1877, Kronecker trató de evitar la publicación de la obra de Cantor en el Crelle Journal, no porque tuviese sentimientos personales contra Cantor (lo cual ha sido sugerido por algunos de los biógrafos de Cantor) sino más bien porque Kronecker creía que el artículo de Cantor no tenía sentido, ya que probaba resultados sobre objetos matemáticos que según Kronecker no existían. Kronecker estaba en el consejo editorial del Crelle Journal, por lo cual ejercía una influencia particularmente fuerte en lo que se publicaba en esa revista. Después de la muerte de Borchardt en 1880, Kronecker asumió el control del Crelle Journal como editor y su influencia sobre qué artículos serían publicados creció.

El seminario matemático en Berlín había sido fundado conjuntamente en 1861 por Kummer y Weierstrass y, al retirarse Kummer en 1883, Kronecker se convirtió en codirector del seminario. Esto incrementó la influencia de Kronecker en Berlín. La fama internacional de Kronecker se difundió también y fue honrado con su elección como miembro correspondiente de la Real Sociedad de Londres el 31 de enero de 1884. También fue una figura muy influyente dentro de las matemáticas alemanas: Estableció comunicación con otros científicos extranjeros en numerosos viajes fuera de Alemania y al extenderles la hospitalidad de su casa de Berlín. Por esta razón, su consejo era solicitado frecuentemente en relación con ocupar plazas de profesor de matemáticas, tanto en Alemania como en el extranjero; sus recomendaciones fueron posiblemente tan importantes como las de su dilecto amigo Weierstrass.

Aunque la visión de Kronecker sobre las matemáticas era bien conocida para sus colegas a lo largo de las décadas de 1870 y 1880, no fue hasta 1886 que hizo públicos estos puntos de vista. En ese año, argumentó en contra de la teoría de los números irracionales usada por Dedekind, Cantor y Heine, dando las razones de su oposición:

... la introducción de varios conceptos con la ayuda de los cuales se ha intentado frecuentemente en últimas fechas (pero primeramente por Heine) concebir y establecer los “irracionales” en general. Incluso el concepto de serie infinita, por ejemplo una serie que crece de acuerdo con potencias definidas de sus variables, es, en mi opinión solamente aceptable con la reserva de que en todo caso especial, sobre la base de las leyes aritméticas para construir términos (o coeficientes),... se debe probar que se cumplen ciertas suposiciones que sean aplicables a las series como expresiones finitas, y que por tanto hacen realmente innecesaria la extensión más allá del concepto de una serie finita.

Lindemann probó que π es trascendente en 1882, y en una conferencia dictada en 1886, Kronecker felicitó a Lindemann por su bella prueba pero, afirmó, que no demostraba nada, ya que los números trascendentes no existían. Así Kronecker fue consistente en sus argumentos y sus convicciones, pero muchos matemáticos, orgullosos de sus resultados obtenidos con dificultad, sintieron que Kronecker estaba tratando de cambiar el curso de las matemáticas y eliminar sus líneas de investigación de futuros desarrollos. Kronecker explicó su programa basado en estudiar sólo objetos matemáticos después de un número finito de operaciones a partir de los enteros en Über den Zahlbegriff (Sobre el concepto de número) en 1887.

Otra característica de la personalidad de Kronecker era su tendencia a enemistarse con los que no estaba de acuerdo matemáticamente. Por supuesto, dada su creencia de que sólo existían objetos matemáticos finitamente construibles, se oponía tajantemente a la forma de Cantor de desarrollar ideas en teoría de conjuntos. No sólo las matemáticas de Dedekind, Heine y Cantor eran inaceptables para este modo de pensar, sino que también Weierstrass llegó a creer que Kronecker estaba tratando de convencer a la siguiente generación de matemáticos que la obra de Weierstrass en análisis era inservible.

Kronecker no tuvo puesto formal en Berlín hasta que Kummer se retiró en 1883 cuando se le otorgó esa cátedra. Pero para 1888 Weierstrass sintió que ya no podría seguir trabajando con Kronecker en Berlín y decidió irse a Suiza, pero entonces, al darse cuenta de que Kronecker estaría en una fuerte posición para influir en la selección de su sucesor, decidió quedarse en Berlín.

Kronecker era de muy baja estatura y extremadamente consciente de su tamaño. Un ejemplo de cómo reaccionaba Kronecker ocurrió en 1885 cuando Schwarz le envió un saludo que incluía la frase:

Quien no honra al Más Pequeño, no es digno del Más Grande.

Aquí Schwarz se mofaba del pequeño Kronecker y del grande Weierstrass. Sin embargo, Kronecker no vio el lado divertido del comentario, y nunca volvió a tener nada que ver con Schwarz (quien era estudiante de Weierstrass y yerno de Kummer). Sin embargo, otros mostraban más tacto y, por ejemplo, Helmholtz, quien era profesor en Berlín desde 1871, se las arregló para mantenerse en buenos términos con Kronecker. La Sociedad Matemática Alemana se estableció en 1890 y su primera reunión se organizó en Halle en septiembre de 1891. No obstante el amargo antagonismo entre Cantor y Kronecker, Cantor invitó a Kronecker a dar una conferencia en esta primera reunión como una señal de respeto para una de los mayores y más eminentes figuras en las matemáticas alemanas. Sin embargo, Kronecker nunca habló en la reunión, pues su esposa se lastimó seriamente en un accidente escalando una montaña durante el verano y falleció el 23 de agosto de 1891. Kronecker sólo sobrevivió a su esposa por unos cuantos meses y falleció en diciembre de 1891.

No deberíamos pensar que la visión de Kronecker de las matemáticas fuera totalmente excéntrica. Aunque es cierto que la mayor parte de los matemáticos de su época no coincidían con su visión, y en realidad la mayoría de los matemáticos hoy día tampoco lo harían, esta visión no fue desdeñada. Las ideas de Kronecker fueron desarrolladas aún más por Poincaré y Brouwer, quienes pusieron especial énfasis sobre la intuición. El intuicionismo pone acento en el hecho de que las matemáticas tienen prioridad sobre la lógica, los objetos de las matemáticas se construyen y se operan en la mente por el matemático, y es imposible definir las propiedades de los objetos matemáticos solamente estableciendo un cierto número de axiomas.

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