Cantor,
Georg Ferdinand Ludwig Philipp
Nació el 3 de marzo de 1845 en San
Petersburgo, Rusia, y murió el 6 de enero de 1918 en Halle, Alemania. El
padre de Georg Cantor, Georg Waldemar Cantor, era un exitoso mercader, que
trabajaba como agente mayorista en San Petersburgo, después como corredor de
bolsa en la Bolsa de Valores de San Petersburgo. Georg Waldemar Cantor había
nacido en Dinamarca y era un hombre con profundo amor por la cultura y las
artes. La madre de Georg, María Anna Böhm, era rusa y muy musical. Ciertamente,
Georg heredó considerables talentos musicales y artísticos de sus padres que lo
convirtieron en un sobresaliente violinista. Georg creció en la fe cristiana
como protestante, que era la religion de su padre, en tanto que su madre era
católica romana.
Después de su primera educación en casa a cargo de un tutor
privado, Cantor asistió a la escuela primaria en San Petersburgo. Después, en
1856, cuando tenía once años, la familia se mudó a Alemania. Sin embargo,
Cantor:-
... recordaba sus primeros años en Rusia con gran nostalgia y
nunca se sintió bien en Alemania, aunque ahí vivió por el resto de su vida y
aparentemente nunca escribió nada en ruso, lengua que debe de haber conocido
bien.
El padre de Cantor tenía una salud endeble y se fue a
Alemania para buscar un clima más tibio que los duros inviernos de San
Petersburgo. Primero vivieron en Wiesbaden, donde Cantor asistió al Gymnasium,
y después se mudaron a Frankfurt. Cantor estudió en la Realschule de
Darmstadt, donde vivió en una pensión. Se graduó en 1860 con un extraordinario
informe, en el que se hacía particular mención de su gran talento en
matemáticas, en particular, en trigonometría. Después de asistir a la Höhere
Gewerbeschule en Darmstadt en 1860 entró al Politécnico de Zurich en
1862. La razón por la cual su padre decidió enviarlo a la Höhere
Gewerbeschule fue que deseaba que Cantor se convirtiera en:
... una brillante estrella en el firmamento de la ingeniería.
Sin embargo, en 1862 Cantor pidió permiso a su padre de estudiar
matemáticas en la universidad, y con enorme gozo obtuvo finalmente el
consentimiento de su padre. Sus estudios en Zurich, no obstante, fueron interrumpidos
por el fallecimiento de su padre en junio de 1863. Cantor se cambió a la
Universidad de Berlín, donde se hizo amigo de Hermann Schwarz, que fue su
compañero allí. Cantor tomó clases con Weierstrass, Kummer y Kronecker. El
semestre de verano de 1866 lo pasó en la Universidad de Göttingen, y regresó a
Berlín para terminar su tesis doctoral sobre teoría de números De
aequationibus secundi gradus indeterminatis en 1867.
Durante su estancia en Berlín, Cantor se involucró con la Sociedad
Matemática, de la cual fue presidente de 1864 a 1865. También formó parte de un
pequeño grupo de jóvenes matemáticos que se reunían semanalmente en una
vinatería. Después de obtener su doctorado en 1867, Cantor fue maestro en una
escuela de niñas en Berlin. Después, en 1868, se unió al Seminario Schellbach para
maestros de matemáticas. Durante esta etapa, trabajó en su habilitación e
inmediatamente después de que obtuvo una plaza en Halle en 1869, presentó su
trabajo, de nuevo sobre teoría de números, y recibió su habilitación.
En Halle cambió la dirección de la investigación de Cantor de la
teoría de números al análisis. Esto se debió a Heine, uno de sus colegas
mayores en Halle, quien desafió a Cantor a que probara el problema abierto
sobre la unicidad de la representación de una función como una serie
trigonométrica. Éste era un problema difícil que había sido atacado por muchos
matemáticos, incluido el propio Heine así como Dirichlet, Lipschitz y Riemann.
Cantor resolvió el problema probando la unicidad de la representación en abril
de 1870. Entre 1870 y 1872 publicó varios artículos que trataron las series
trigonométricas, los que mostraron las enseñanzas de Weierstrass.
Cantor fue promovido a Profesor Extraordinario en Halle en
1872, año en el que entabló amistad con Dedekind, a quien conoció durante unas
vacaciones en Suiza. Cantor publicó un artículo sobre series trigonométricas en
1872, en el cual definió los números irracionales en términos de sucesiones
convergentes de números racionales. Dedekind publicó su definición de los
números reales por "cortaduras de Dedekind" también en 1872 y en este
artículo Dedekind cita el artículo de Cantor de 1872, que Cantor le había
enviado.
En 1873 Cantor probó que los números racionales son numerables, es
decir, se pueden poner en correspondencia biunívoca con los números naturales.
También probó que los números algebraicos, es decir, los números que son
soluciones de ecuaciones polinomiales con coeficientes enteros, son numerables.
Sin embargo, sus intentos por decidir si los números reales son numerables
resultaron más difíciles. En diciembre de 1873 logró probar que el conjunto de
los números reales no era numerable y en 1874 lo publicó en un artículo. Es en
este artículo que aparece por primera vez la idea de una correspondencia biunívoca,
aunque sólo queda implícita en el trabajo.
Un número trascendente es un número irracional que no es raíz de
ningún polinomio con coeficientes enteros. Liouville estableció en 1851 que los
números trascendentes existen. Veinte años después, en su trabajo de 1874,
Cantor probó que en cierto sentido 'casi todos' los números son trascendentes,
al probar que los números reales no son numerables, mientras que los números
algebraicos sí lo son.
Cantor siguió su trabajo, intercambiando cartas con Dedekind. La
siguiente pregunta que se planteó, en enero de 1874, fue si el cuadrado
unitario podía aplicarse biunívocamente sobre el intervalo unitario. En una
carta a Dedekind fechada el 5 de enero de 1874 escribió:
¿Puede una superficie (digamos, un cuadrado que incluye su
frontera) ser referido unívocamente a una línea (digamos, un segmento de recta
que incluye los extremos) de modo que para cada punto de la superficie haya un
punto correspondiente de la línea e, inversamente, para cada punto de la línea
haya un punto correspondiente de la superficie? Yo creo que dar respuesta a
esta pregunta no va a ser un trabajo fácil, no obstante el hecho de que la
respuesta parece muy claramente ser "no", y la prueba parece casi
innecesaria..
El año 1874 fue importante en la vida personal de Cantor. Se
comprometió con Vally Guttmann, una amiga de su hermana, en la primavera de ese
año. Se casaron el 9 de agosto de 1874 y pasaron su luna de miel en Interlaken,
Suiza, donde Cantor pasó mucho tiempo en discusiones matemáticas con Dedekind.
Cantor mantuvo su correspondencia con Dedekind, compartiendo sus
ideas y buscando la opinión de Dedekind, y en 1877 le escribió a Dedekind
probando que hay una correspondencia biunívoca entre puntos del intervalo [0,
1] y puntos del espacio p-dimensional. Cantor se sorprendió de su propio
descubrimiento y escribió:
¡Lo veo, pero no lo creo!
Por supuesto, esto tuvo implicaciones para la geometría y la
noción de dimensión de un espacio. Un importante artículo que Cantor envió
al Journal de Crelle en 1877 fue tratado con suspicacia por
Kronecker, y sólo fue publicado después de que Dedekind interviniera a favor de
Cantor. Cantor quedó profundamente resentido por la oposición de Kronecker a su
trabajo y nunca volvió a enviar un artículo más al Journal de Crelle.
El artículo que sobre dimensión apareció en el Journal de
Crelle en 1878 precisa los conceptos de correspondencia biunívoca. El artículo
discute conjuntos numerables, es decir, que están en correspondencia biunívoca
con los números naturales. Estudia conjuntos de igual potencia, es decir,
aquéllos que están en correspondencia biyectiva uno con el otro. Cantor también
discutió el concepto de dimensión y resaltó el hecho de que su correspondencia
entre el intervalo [0, 1] y el cuadrado unitario no era una aplicación continua.
Entre 1879 y 1884 Cantor publicó una serie de seis artículos en
los Mathematische Annalen diseñados para proporcionar una introducción básica a
la teoría de los conjuntos. Posiblemente haya sido Klein quien ejerció una influencia
para que los Mathematische Annalen los editara. Sin embargo, había un cierto
número de problemas que surgieron durante esos días, que resultaron difíciles
para Cantor. Aunque había sido promovido a profesor titular en 1879 por
recomendación de Heine, Cantor había esperado obtener una cátedra en una
universidad de más prestigio. Su larga correspondencia con Schwarz terminó en
1880 cuando la oposición a las ideas de Cantor siguió creciendo y Schwarz ya no
pudo soportar la dirección que estaba tomando el trabajo de Cantor. Entonces,
en octubre de 1881 murió Heine se necesitaba un reemplazo para ocupar la
cátedra en Halle.
Cantor elaboró una lista de tres matemáticos para ocupar la
cátedra de Heine y la lista fue aprobada. Puso a Dedekind en primer lugar,
seguido de Heinrich Weber y finalmente de Mertens. Fue un severo golpe para
Cantor cuando Dedekind declinó la oferta a principios de 1882, golpe que fue
empeorado por la declinación de Heinrich Weber y luego de Mertens también.
Después de elaborar una lista nueva, Wangerin fue designado pero nunca se
vinculó estrechamente con Cantor. La rica correspondencia matemática entre
Cantor y Dedekind terminó más tarde en 1882.
Casi al mismo tiempo que terminó la correspondencia
Cantor-Dedekind, Cantor comenzó a establecer importante correspondencia con
Mittag-Leffler. Pronto empezó Cantor a publicar en la revista de
Mittag-Leffler Acta Mathematica, pero su importante serie de seis
artículos en los Mathematische Annalen también continuó
apareciendo. El quinto artículo de esta serie, Grundlagen einer
allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre (Fundamentos de una teoría general
de variedades) también fue publicado como una monografía separada y fue
especialmente importante por varias razones. Primeramente, Cantor se dio cuenta
de que su teoría de conjuntos no estaba encontrando la aceptación que había
esperado y las Grundlagen habían sido diseñadas para responder a las críticas.
En Segundo lugar:
El mayor logro de las Grundlagen fue su presentación de los
números transfinitos como una extensión autónoma y sistemática de los números
naturales.
Cantor mismo indica en forma bastante clara en el artículo, que se
da cuenta de la fuerte oposición a sus ideas:
... me doy cuenta de que en esta empresa me estoy colocando en
cierta oposición a la vision ampliamente aceptada concerniente al infinito
matemático y a opiniones frecuentemente defendidas sobre la naturaleza de los
números.
A finales de mayo de 1884 Cantor tuvo su primer ataque de
depresión registrado. Se recuperó después de unas cuantas semanas pero se
sentía más inseguro. Le escribió a Mittag-Leffler a finales de junio:
... no sé cuándo regresaré a continuar mi trabajo científico. Por
el momento no puedo hacer absolutamente nada y me limito a las más urgentes
obligaciones de mis clases; cuánto más feliz estaría yo de estar
científicamente activo, si al menos tuviese la frescura mental necesaria.
En algún momento se pensó que su depresión era causada por
preocupaciones matemáticas y como resultado de su relación con Kronecker, en
particular. Recientemente, sin embargo, una mejor comprensión de las
enfermedades mentales ha llevado a asegurar que las preocupaciones matemáticas
de Cantor y sus relaciones difíciles resultaban muy exageradas por su
depresión, pero no eran la causa. Después de su enfermedad mental de 1884:
... tomó vacaciones en sus montañas favoritas del Harz y por
alguna razón decidió tratar de reconciliarse con Kronecker. Kronecker aceptó el
gesto, pero debe de haber sido difícil para ambos olvidar su enemistad, y los
desacuerdos filosóficos se mantuvieron entre ellos.
Las preocupaciones matemáticas empezaron a inquietar a Cantor
ahora, en particular, empezó a preocuparse de que no podría probar la hipótesis
del continuo, a saber, que el cardinal del infinito de los números reales era
el siguiente después del de los números naturales. De hecho, pensaba que había
probado que era falsa, pero al día siguiente encontró su error. Nuevamente,
pensó haber demostrado que era cierta, para rápidamente volver a encontrar un
error.
Nada iba bien, en varias formas, pues en 1885 Mittag-Leffler
persuadió a Cantor a retirar uno de sus artículos de la Acta Mathematica cuando
estaba en la etapa de pruebas, porque pensaba que "... estaba adelantado
unos cien años ". Cantor se burlaba de ello, pero claramente estaba
lastimado:
¡De haberle hecho caso a Mittag-Leffler, debería haber esperado
hasta el año 1984, lo que me pareció una demanda excesiva! ... Pero, por
supuesto, no quiero volver a saber nada de Acta Mathematica.
Mittag-Leffler quiso tomar esto como una amabilidad, pero mjuestra
una falta de aprecio por el trabajo de Cantor. La correspondencia entre Mittag-Leffler
y Cantor cesó poco después de este evento y el flujo de nuevas ideas que había
llevado a Cantor a su rápido desarrollo de la teoría de conjuntos a lo largo de
doce años parecía haber cesado prácticamente también.
En 1886 Cantor compró una bella casa nueva en Händelstrasse, una
calle llamada así en honor al compositor alemán Georg Friedrich Haendel. Antes
del fin de ese año nació un hijo, con el que completó su familia a seis niños.
Viró del desarrollo de la teoría de conjuntos hacia dos nuevas direcciones,
discutiendo primeramente con muchos filósofos los aspectos filosóficos de su
teoría (publicó estas cartas en 1888) y después de la muerte de Clebsch
adoptando su idea de fundar la Deutsche Mathematiker-Vereinigung (Asociación
Alemana de Matemáticos) lo que logró en 1890. Cantor presidio la primera
reunión de la Asociación en Halle en septiembre de 1891 y, a pesar de su amargo
antagonismo con Kronecker, Cantor lo invitó a dictar una conferencia en la
primera reunión.
Sin embargo, Kronecker nunca habló en la reunión, pues su esposa
se lastimó seriamente en un accidente de montañismo a finales del verano y
murió poco después. Cantor resultó electo presidente de la Deutsche
Mathematiker-Vereinigung en la primera reunion, puesto que mantuvo
hasta 1893. Ayudó a organizar la reunión de la Asociación en Múnich en 1893,
pero volvió a caer enfermo antes de la reunión y no pudo asistir.
Cantor publicó un artículo bastante extraño en 1894, que ponía una
lista de cómo escribir todos los números pares, hasta el 1 000, como la suma de
dos primos. Ya que la conjetura de Goldbach ya había sido verificada hasta el
10 000 desde hacía 40 años, es más probable que este artículo diga más del
estado mental de Cantor que de la misma conjetura de Goldbach.
Sus últimos artículos importantes sobre la teoría de conjuntos
aparecieron en 1895 y 1897, de nuevo en los Mathematische Annalen editados
ahora por Klein, y son bellos recuentos de aritmética transfinita. El
relativamente largo período entre los dos artículos se debe al hecho de que
aunque Cantor terminó de escribir la segunda parte seis meses después de
publicar la primera, esperaba poder incluir una prueba de la hipótesis del
continuo en la segunda parte. Sin embargo, no tenía que ser, pero el segundo
artículo describe su teoría de conjuntos bien ordenados y números ordinales.
En 1897 Cantor asistió al primer Congreso Internacional de
Matemáticos en Zúrich. En sus conferencias en el Congreso:
... Hurwitz expresó abiertamente su gran admiración por Cantor y
lo proclamó como alguien gracias al cual la teoría de funciones se había visto
enriquecida. Jacques Hadamard expresó su opinión de que las nociones de la
teoría de los conjuntos eran instrumentos conocidos e indispensables.
En el congreso, Cantor se encontró con Dedekind y reanudaron su
amistad. Al momento del congreso, sin embargo, Cantor había descubierto la
primera de las paradojas en la teoría de conjuntos. Descubrió las paradojas
mientras trabajaba en sus artículos de revisión de 1895 y 1897, y le escribió a
Hilbert en 1896 explicándole la paradoja. Burali-Forti descubrió la paradoja
independientemente y la publicó en 1897. Cantor empezó correspondencia con
Dedekind para tratar de entender cómo resolver los problemas, pero ataques
recurrentes de su enfermedad mental lo obligaron a dejar de escribirle a
Dedekind en 1899.
Cada vez que Cantor sufría de períodos de depresión, tendía a
alejarse de las matemáticas y a voltear hacia la filosofía y a su gran interés
literario, pues creía que había sido Francis Bacon quien escribió las obras de
Shakespeare. Por ejemplo, durante su enfermedad de 1884 había solicitado que se
le permitiera impartir clase de filosofía en lugar de matemáticas y había
empezado su intenso estudio de la literatura isabelina intentando, con ellos,
demostrar su teoría de Bacon-Shakespeare. Empezó a publicar panfletos sobre las
cuestiones literarias en 1896 y 1897. La muerte de su madre en octubre de 1896
y la de su hermano menor en 1899 impusieron más presión sobre Cantor.
En octubre de 1899 Cantor solicitó y obtuvo un permiso para
ausentarse de la docencia durante el semestre de invierno de 1899-1900.
Después, el 16 de diciembre de 1899, murió el menor de sus hijos. Desde este
momento y hasta el final de sus días luchó contra su enfermedad mental de depresión.
Continuó enseñando, pero tuvo que ausentarse de la docencia varios semstres de
invierno, los de 1902-03, 1904-05 y 1907-08. Cantor pasó algunas temporadas en
sanatorios, cuando sufrió los peores ataques de su enfermedad, de 1899 en
adelante. Continuó trabajando y publicando sobre su teoría de Bacon-Shakespeare
y ciertamente no abandonó las matemáticas completamente. Dio conferencias sobre
las paradojas de la teoría de los conjuntos en una reunión de la Deutsche
Mathematiker-Vereinigung en septiembre de 1903 y asistió al Congreso
Internacional de Matemáticos en Heidelberg, en agosto de 1904.
En 1905 Cantor escribió una obra religiosa
después de retornar a casa después de una estancia en el hospital. Sostuvo
correspondencia con Jourdain sobre la historia de la teoría de conjuntos y sus
tendencias religiosas. Después de ausentarse de sus labores académicas durante
casi todo el año 1909 por causa de su endeble salud, asumió sus obligaciones
para con la universidad durante 1910 y 1911. Fue en ese año que se sintió muy
feliz de recibir una invitación de la Universidad de St Andrews en Escocia para
asistir como académico distinguido a las celebraciones por el 500° aniversario
de la fundación la Universidad. Éstas tuvieron lugar del 12 al 15 de septiembre
de 1911 pero:
Durante la visita. Aparentemente empezó a comportarse de manera
excéntrica, hablando en exceso sobre la cuestión de Bacon-Shakespeare; entonces
viajó a Londres por unos cuantos días.
Cantor había esperado encontrarse con Russell que acababa de publicar
los Principia Mathematica. Sin embargo, su enfermedad y las noticias de que su
hijo había caído enfermo lo hicieron regresar a Alemania sin ver a Russell. Al
año siguiente, Cantor recibió el doctorado honoris causa en leyes de la
Universidad de St Andrews, pero se encontraba demasiado enfermo para recibir el
grado personalmente.
Cantor se retiró en 1913 y pasó sus últimos años enfermo y con
poco alimento por causa de la Guerra en Alemania. Un importante encuentro
planeado en Halle para celebrar los setenta años de Cantor en 1915 tuvo que
cancelarse por causa de la guerra, pero una celebración más pequeña se llevó a
cabo en su casa. En junio de 1917 entró a un sanatorio por última vez, y
continuamente le escribía a su esposa, pidiéndole que se le permitiera regresar
a casa. Murió de un ataque al corazón.
Hilbert describió la obra de Cantor como:
...el producto más bello del genio matemático y uno de los logros
supremos de la actividad humana puramente intelectual.
