GEORGE CANTOR

 

Cantor, Georg Ferdinand Ludwig Philipp

Nació el 3 de marzo de 1845 en San Petersburgo, Rusia, y murió el 6 de enero de 1918 en Halle, Alemania. El padre de Georg Cantor, Georg Waldemar Cantor, era un exitoso mercader, que trabajaba como agente mayorista en San Petersburgo, después como corredor de bolsa en la Bolsa de Valores de San Petersburgo. Georg Waldemar Cantor había nacido en Dinamarca y era un hombre con profundo amor por la cultura y las artes. La madre de Georg, María Anna Böhm, era rusa y muy musical. Ciertamente, Georg heredó considerables talentos musicales y artísticos de sus padres que lo convirtieron en un sobresaliente violinista. Georg creció en la fe cristiana como protestante, que era la religion de su padre, en tanto que su madre era católica romana.

Después de su primera educación en casa a cargo de un tutor privado, Cantor asistió a la escuela primaria en San Petersburgo. Después, en 1856, cuando tenía once años, la familia se mudó a Alemania. Sin embargo, Cantor:-

... recordaba sus primeros años en Rusia con gran nostalgia y nunca se sintió bien en Alemania, aunque ahí vivió por el resto de su vida y aparentemente nunca escribió nada en ruso, lengua que debe de haber conocido bien.

El padre de Cantor tenía una salud endeble y se fue a Alemania para buscar un clima más tibio que los duros inviernos de San Petersburgo. Primero vivieron en Wiesbaden, donde Cantor asistió al Gymnasium, y después se mudaron a Frankfurt. Cantor estudió en la Realschule de Darmstadt, donde vivió en una pensión. Se graduó en 1860 con un extraordinario informe, en el que se hacía particular mención de su gran talento en matemáticas, en particular, en trigonometría. Después de asistir a la Höhere Gewerbeschule en Darmstadt en 1860 entró al Politécnico de Zurich en 1862. La razón por la cual su padre decidió enviarlo a la Höhere Gewerbeschule fue que deseaba que Cantor se convirtiera en:

... una brillante estrella en el firmamento de la ingeniería.

Sin embargo, en 1862 Cantor pidió permiso a su padre de estudiar matemáticas en la universidad, y con enorme gozo obtuvo finalmente el consentimiento de su padre. Sus estudios en Zurich, no obstante, fueron interrumpidos por el fallecimiento de su padre en junio de 1863. Cantor se cambió a la Universidad de Berlín, donde se hizo amigo de Hermann Schwarz, que fue su compañero allí. Cantor tomó clases con Weierstrass, Kummer y Kronecker. El semestre de verano de 1866 lo pasó en la Universidad de Göttingen, y regresó a Berlín para terminar su tesis doctoral sobre teoría de números De aequationibus secundi gradus indeterminatis en 1867.

Durante su estancia en Berlín, Cantor se involucró con la Sociedad Matemática, de la cual fue presidente de 1864 a 1865. También formó parte de un pequeño grupo de jóvenes matemáticos que se reunían semanalmente en una vinatería. Después de obtener su doctorado en 1867, Cantor fue maestro en una escuela de niñas en Berlin. Después, en 1868, se unió al Seminario Schellbach para maestros de matemáticas. Durante esta etapa, trabajó en su habilitación e inmediatamente después de que obtuvo una plaza en Halle en 1869, presentó su trabajo, de nuevo sobre teoría de números, y recibió su habilitación.

En Halle cambió la dirección de la investigación de Cantor de la teoría de números al análisis. Esto se debió a Heine, uno de sus colegas mayores en Halle, quien desafió a Cantor a que probara el problema abierto sobre la unicidad de la representación de una función como una serie trigonométrica. Éste era un problema difícil que había sido atacado por muchos matemáticos, incluido el propio Heine así como Dirichlet, Lipschitz y Riemann. Cantor resolvió el problema probando la unicidad de la representación en abril de 1870. Entre 1870 y 1872 publicó varios artículos que trataron las series trigonométricas, los que mostraron las enseñanzas de Weierstrass.

Cantor fue promovido a Profesor Extraordinario en Halle en 1872, año en el que entabló amistad con Dedekind, a quien conoció durante unas vacaciones en Suiza. Cantor publicó un artículo sobre series trigonométricas en 1872, en el cual definió los números irracionales en términos de sucesiones convergentes de números racionales. Dedekind publicó su definición de los números reales por "cortaduras de Dedekind" también en 1872 y en este artículo Dedekind cita el artículo de Cantor de 1872, que Cantor le había enviado.

En 1873 Cantor probó que los números racionales son numerables, es decir, se pueden poner en correspondencia biunívoca con los números naturales. También probó que los números algebraicos, es decir, los números que son soluciones de ecuaciones polinomiales con coeficientes enteros, son numerables. Sin embargo, sus intentos por decidir si los números reales son numerables resultaron más difíciles. En diciembre de 1873 logró probar que el conjunto de los números reales no era numerable y en 1874 lo publicó en un artículo. Es en este artículo que aparece por primera vez la idea de una correspondencia biunívoca, aunque sólo queda implícita en el trabajo.

Un número trascendente es un número irracional que no es raíz de ningún polinomio con coeficientes enteros. Liouville estableció en 1851 que los números trascendentes existen. Veinte años después, en su trabajo de 1874, Cantor probó que en cierto sentido 'casi todos' los números son trascendentes, al probar que los números reales no son numerables, mientras que los números algebraicos sí lo son.

Cantor siguió su trabajo, intercambiando cartas con Dedekind. La siguiente pregunta que se planteó, en enero de 1874, fue si el cuadrado unitario podía aplicarse biunívocamente sobre el intervalo unitario. En una carta a Dedekind fechada el 5 de enero de 1874 escribió:

¿Puede una superficie (digamos, un cuadrado que incluye su frontera) ser referido unívocamente a una línea (digamos, un segmento de recta que incluye los extremos) de modo que para cada punto de la superficie haya un punto correspondiente de la línea e, inversamente, para cada punto de la línea haya un punto correspondiente de la superficie? Yo creo que dar respuesta a esta pregunta no va a ser un trabajo fácil, no obstante el hecho de que la respuesta parece muy claramente ser "no", y la prueba parece casi innecesaria..

El año 1874 fue importante en la vida personal de Cantor. Se comprometió con Vally Guttmann, una amiga de su hermana, en la primavera de ese año. Se casaron el 9 de agosto de 1874 y pasaron su luna de miel en Interlaken, Suiza, donde Cantor pasó mucho tiempo en discusiones matemáticas con Dedekind.

Cantor mantuvo su correspondencia con Dedekind, compartiendo sus ideas y buscando la opinión de Dedekind, y en 1877 le escribió a Dedekind probando que hay una correspondencia biunívoca entre puntos del intervalo [0, 1] y puntos del espacio p-dimensional. Cantor se sorprendió de su propio descubrimiento y escribió:

¡Lo veo, pero no lo creo!

Por supuesto, esto tuvo implicaciones para la geometría y la noción de dimensión de un espacio. Un importante artículo que Cantor envió al Journal de Crelle en 1877 fue tratado con suspicacia por Kronecker, y sólo fue publicado después de que Dedekind interviniera a favor de Cantor. Cantor quedó profundamente resentido por la oposición de Kronecker a su trabajo y nunca volvió a enviar un artículo más al Journal de Crelle.

El artículo que sobre dimensión apareció en el Journal de Crelle en 1878 precisa los conceptos de correspondencia biunívoca. El artículo discute conjuntos numerables, es decir, que están en correspondencia biunívoca con los números naturales. Estudia conjuntos de igual potencia, es decir, aquéllos que están en correspondencia biyectiva uno con el otro. Cantor también discutió el concepto de dimensión y resaltó el hecho de que su correspondencia entre el intervalo [0, 1] y el cuadrado unitario no era una aplicación continua.

Entre 1879 y 1884 Cantor publicó una serie de seis artículos en los Mathematische Annalen diseñados para proporcionar una introducción básica a la teoría de los conjuntos. Posiblemente haya sido Klein quien ejerció una influencia para que los Mathematische Annalen los editara. Sin embargo, había un cierto número de problemas que surgieron durante esos días, que resultaron difíciles para Cantor. Aunque había sido promovido a profesor titular en 1879 por recomendación de Heine, Cantor había esperado obtener una cátedra en una universidad de más prestigio. Su larga correspondencia con Schwarz terminó en 1880 cuando la oposición a las ideas de Cantor siguió creciendo y Schwarz ya no pudo soportar la dirección que estaba tomando el trabajo de Cantor. Entonces, en octubre de 1881 murió Heine se necesitaba un reemplazo para ocupar la cátedra en Halle.

Cantor elaboró una lista de tres matemáticos para ocupar la cátedra de Heine y la lista fue aprobada. Puso a Dedekind en primer lugar, seguido de Heinrich Weber y finalmente de Mertens. Fue un severo golpe para Cantor cuando Dedekind declinó la oferta a principios de 1882, golpe que fue empeorado por la declinación de Heinrich Weber y luego de Mertens también. Después de elaborar una lista nueva, Wangerin fue designado pero nunca se vinculó estrechamente con Cantor. La rica correspondencia matemática entre Cantor y Dedekind terminó más tarde en 1882.

Casi al mismo tiempo que terminó la correspondencia Cantor-Dedekind, Cantor comenzó a establecer importante correspondencia con Mittag-Leffler. Pronto empezó Cantor a publicar en la revista de Mittag-Leffler Acta Mathematica, pero su importante serie de seis artículos en los Mathematische Annalen también continuó apareciendo. El quinto artículo de esta serie, Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre (Fundamentos de una teoría general de variedades) también fue publicado como una monografía separada y fue especialmente importante por varias razones. Primeramente, Cantor se dio cuenta de que su teoría de conjuntos no estaba encontrando la aceptación que había esperado y las Grundlagen habían sido diseñadas para responder a las críticas. En Segundo lugar:

El mayor logro de las Grundlagen fue su presentación de los números transfinitos como una extensión autónoma y sistemática de los números naturales.

Cantor mismo indica en forma bastante clara en el artículo, que se da cuenta de la fuerte oposición a sus ideas:

... me doy cuenta de que en esta empresa me estoy colocando en cierta oposición a la vision ampliamente aceptada concerniente al infinito matemático y a opiniones frecuentemente defendidas sobre la naturaleza de los números.

A finales de mayo de 1884 Cantor tuvo su primer ataque de depresión registrado. Se recuperó después de unas cuantas semanas pero se sentía más inseguro. Le escribió a Mittag-Leffler a finales de junio:

... no sé cuándo regresaré a continuar mi trabajo científico. Por el momento no puedo hacer absolutamente nada y me limito a las más urgentes obligaciones de mis clases; cuánto más feliz estaría yo de estar científicamente activo, si al menos tuviese la frescura mental necesaria.

En algún momento se pensó que su depresión era causada por preocupaciones matemáticas y como resultado de su relación con Kronecker, en particular. Recientemente, sin embargo, una mejor comprensión de las enfermedades mentales ha llevado a asegurar que las preocupaciones matemáticas de Cantor y sus relaciones difíciles resultaban muy exageradas por su depresión, pero no eran la causa. Después de su enfermedad mental de 1884:

... tomó vacaciones en sus montañas favoritas del Harz y por alguna razón decidió tratar de reconciliarse con Kronecker. Kronecker aceptó el gesto, pero debe de haber sido difícil para ambos olvidar su enemistad, y los desacuerdos filosóficos se mantuvieron entre ellos.

Las preocupaciones matemáticas empezaron a inquietar a Cantor ahora, en particular, empezó a preocuparse de que no podría probar la hipótesis del continuo, a saber, que el cardinal del infinito de los números reales era el siguiente después del de los números naturales. De hecho, pensaba que había probado que era falsa, pero al día siguiente encontró su error. Nuevamente, pensó haber demostrado que era cierta, para rápidamente volver a encontrar un error.

Nada iba bien, en varias formas, pues en 1885 Mittag-Leffler persuadió a Cantor a retirar uno de sus artículos de la Acta Mathematica cuando estaba en la etapa de pruebas, porque pensaba que "... estaba adelantado unos cien años ". Cantor se burlaba de ello, pero claramente estaba lastimado:

¡De haberle hecho caso a Mittag-Leffler, debería haber esperado hasta el año 1984, lo que me pareció una demanda excesiva! ... Pero, por supuesto, no quiero volver a saber nada de Acta Mathematica.

Mittag-Leffler quiso tomar esto como una amabilidad, pero mjuestra una falta de aprecio por el trabajo de Cantor. La correspondencia entre Mittag-Leffler y Cantor cesó poco después de este evento y el flujo de nuevas ideas que había llevado a Cantor a su rápido desarrollo de la teoría de conjuntos a lo largo de doce años parecía haber cesado prácticamente también.

En 1886 Cantor compró una bella casa nueva en Händelstrasse, una calle llamada así en honor al compositor alemán Georg Friedrich Haendel. Antes del fin de ese año nació un hijo, con el que completó su familia a seis niños. Viró del desarrollo de la teoría de conjuntos hacia dos nuevas direcciones, discutiendo primeramente con muchos filósofos los aspectos filosóficos de su teoría (publicó estas cartas en 1888) y después de la muerte de Clebsch adoptando su idea de fundar la Deutsche Mathematiker-Vereinigung (Asociación Alemana de Matemáticos) lo que logró en 1890. Cantor presidio la primera reunión de la Asociación en Halle en septiembre de 1891 y, a pesar de su amargo antagonismo con Kronecker, Cantor lo invitó a dictar una conferencia en la primera reunión.

Sin embargo, Kronecker nunca habló en la reunión, pues su esposa se lastimó seriamente en un accidente de montañismo a finales del verano y murió poco después. Cantor resultó electo presidente de la Deutsche Mathematiker-Vereinigung en la primera reunion, puesto que mantuvo hasta 1893. Ayudó a organizar la reunión de la Asociación en Múnich en 1893, pero volvió a caer enfermo antes de la reunión y no pudo asistir.

Cantor publicó un artículo bastante extraño en 1894, que ponía una lista de cómo escribir todos los números pares, hasta el 1 000, como la suma de dos primos. Ya que la conjetura de Goldbach ya había sido verificada hasta el 10 000 desde hacía 40 años, es más probable que este artículo diga más del estado mental de Cantor que de la misma conjetura de Goldbach.

Sus últimos artículos importantes sobre la teoría de conjuntos aparecieron en 1895 y 1897, de nuevo en los Mathematische Annalen editados ahora por Klein, y son bellos recuentos de aritmética transfinita. El relativamente largo período entre los dos artículos se debe al hecho de que aunque Cantor terminó de escribir la segunda parte seis meses después de publicar la primera, esperaba poder incluir una prueba de la hipótesis del continuo en la segunda parte. Sin embargo, no tenía que ser, pero el segundo artículo describe su teoría de conjuntos bien ordenados y números ordinales.

En 1897 Cantor asistió al primer Congreso Internacional de Matemáticos en Zúrich. En sus conferencias en el Congreso:

... Hurwitz expresó abiertamente su gran admiración por Cantor y lo proclamó como alguien gracias al cual la teoría de funciones se había visto enriquecida. Jacques Hadamard expresó su opinión de que las nociones de la teoría de los conjuntos eran instrumentos conocidos e indispensables.

En el congreso, Cantor se encontró con Dedekind y reanudaron su amistad. Al momento del congreso, sin embargo, Cantor había descubierto la primera de las paradojas en la teoría de conjuntos. Descubrió las paradojas mientras trabajaba en sus artículos de revisión de 1895 y 1897, y le escribió a Hilbert en 1896 explicándole la paradoja. Burali-Forti descubrió la paradoja independientemente y la publicó en 1897. Cantor empezó correspondencia con Dedekind para tratar de entender cómo resolver los problemas, pero ataques recurrentes de su enfermedad mental lo obligaron a dejar de escribirle a Dedekind en 1899.

Cada vez que Cantor sufría de períodos de depresión, tendía a alejarse de las matemáticas y a voltear hacia la filosofía y a su gran interés literario, pues creía que había sido Francis Bacon quien escribió las obras de Shakespeare. Por ejemplo, durante su enfermedad de 1884 había solicitado que se le permitiera impartir clase de filosofía en lugar de matemáticas y había empezado su intenso estudio de la literatura isabelina intentando, con ellos, demostrar su teoría de Bacon-Shakespeare. Empezó a publicar panfletos sobre las cuestiones literarias en 1896 y 1897. La muerte de su madre en octubre de 1896 y la de su hermano menor en 1899 impusieron más presión sobre Cantor.

En octubre de 1899 Cantor solicitó y obtuvo un permiso para ausentarse de la docencia durante el semestre de invierno de 1899-1900. Después, el 16 de diciembre de 1899, murió el menor de sus hijos. Desde este momento y hasta el final de sus días luchó contra su enfermedad mental de depresión. Continuó enseñando, pero tuvo que ausentarse de la docencia varios semstres de invierno, los de 1902-03, 1904-05 y 1907-08. Cantor pasó algunas temporadas en sanatorios, cuando sufrió los peores ataques de su enfermedad, de 1899 en adelante. Continuó trabajando y publicando sobre su teoría de Bacon-Shakespeare y ciertamente no abandonó las matemáticas completamente. Dio conferencias sobre las paradojas de la teoría de los conjuntos en una reunión de la Deutsche Mathematiker-Vereinigung en septiembre de 1903 y asistió al Congreso Internacional de Matemáticos en Heidelberg, en agosto de 1904.

En 1905 Cantor escribió una obra religiosa después de retornar a casa después de una estancia en el hospital. Sostuvo correspondencia con Jourdain sobre la historia de la teoría de conjuntos y sus tendencias religiosas. Después de ausentarse de sus labores académicas durante casi todo el año 1909 por causa de su endeble salud, asumió sus obligaciones para con la universidad durante 1910 y 1911. Fue en ese año que se sintió muy feliz de recibir una invitación de la Universidad de St Andrews en Escocia para asistir como académico distinguido a las celebraciones por el 500° aniversario de la fundación la Universidad. Éstas tuvieron lugar del 12 al 15 de septiembre de 1911 pero:

Durante la visita. Aparentemente empezó a comportarse de manera excéntrica, hablando en exceso sobre la cuestión de Bacon-Shakespeare; entonces viajó a Londres por unos cuantos días.

Cantor había esperado encontrarse con Russell que acababa de publicar los Principia Mathematica. Sin embargo, su enfermedad y las noticias de que su hijo había caído enfermo lo hicieron regresar a Alemania sin ver a Russell. Al año siguiente, Cantor recibió el doctorado honoris causa en leyes de la Universidad de St Andrews, pero se encontraba demasiado enfermo para recibir el grado personalmente.

Cantor se retiró en 1913 y pasó sus últimos años enfermo y con poco alimento por causa de la Guerra en Alemania. Un importante encuentro planeado en Halle para celebrar los setenta años de Cantor en 1915 tuvo que cancelarse por causa de la guerra, pero una celebración más pequeña se llevó a cabo en su casa. En junio de 1917 entró a un sanatorio por última vez, y continuamente le escribía a su esposa, pidiéndole que se le permitiera regresar a casa. Murió de un ataque al corazón.

Hilbert describió la obra de Cantor como:

...el producto más bello del genio matemático y uno de los logros supremos de la actividad humana puramente intelectual.

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