Nació el 25 de abril de 1849 en Düsseldorf,
Prusia, y murió el 22 de junio de 1925, en Göttingen, Alemania. Es mejor
conocido por su obra sobre geometría no euclidiana, sobre las conexiones entre geometría
y teoría de grupos y por sus resultados en teoría de funciones.
Klein asistió al Gymnasium
(bachillerato) en Düsseldorf. Después de graduarse, entró a la Universidad de Bonn
y estudió matemáticas y física entre 1865 y 1866. Comenzó su carrera con la
intención de convertirse en físico. Mientras estudiaba en la Universidad de
Bonn, obtuvo el puesto de asistente de laboratorio de Plücker en 1866. Plücker
ocupaba una cátedra de matemáticas y física experimental en Bonn, pero cuando
Klein se convirtió en su asistente, los intereses de Plücker se habían
enraizado firmemente en la geometría. Klein obtuvo su doctorado en 1868 en la
Universidad de Bonn bajo la supervisión de Plücker, con una tesis Sobre la
transformación a una forma canónica de la ecuación general de segundo
grado entre coordenadas lineales, que trata cuestiones de geometría
lineal y aplicaciones a la mecánica. En su disertación clasificó complejos
lineales de segundo grado usando la teoría de Weierstrass de divisores
elementales.
Sin embargo, en el año en el que Klein
recibió su doctorado, Plücker falleció dejando incompleta su obra monumental
sobre los fundamentos de la geometría lineal. Klein era la persona obvia para
completar la segunda parte de la Nueva geometría del espacio de Plücker
y su trabajo lo llevó a familiarizarse con Clebsch. Éste se había mudado a
Göttingen en 1868 y durante 1869, Klein hizo visitas a Berlín, París y
Göttingen. En julio de 1870 Klein estaba en París cuando Bismarck, el Canciller
Prusiano, publicó un mensaje que enfureció al gobierno francés. Francia le
declaró la guerra a Prusia el 19 de julio y Klein sintió que no podía
permanecer en París y regresó. Entonces, durante un pequeño lapso, cumplió con
el servicio militar como asistente médico antes de ser nombrado docente en
Göttingen a principios de 1871.
Klein fue posteriormente designado profesor
en Erlangen, en Baviera, en el sur de Alemania, en 1872. Recibió apoyo decisivo
de Clebsch, quien consideraba que muy probablemente se convertiría en el
principal matemático de sus tiempos, y así Klein ocupó una cátedra a su tierna
edad de 23 años. Sin embargo, Klein no formó una escuela en Erlangen donde sólo
había pocos estudiantes, de modo que se sintió complacido cuando le ofrecieron
una cátedra en la Escuela Superior Técnica de Munich en 1875. Allí él y su
colega Brill impartían cursos avanzados a un gran número de excelentes
estudiantes y el gran talento de Klein como maestro alcanzó su máxima
expresión. Entre los estudiantes que tuvo Klein en Munich estaban Hurwitz, von
Dyck, Rohn, Runge, Planck, Bianchi y Ricci-Curbastro. En ese año se casó con
Anne Hegel, la nieta del filósofo Georg Wilhelm Friedrich Hegel.
Después de cinco años en la Escuela Superior
Técnica de Munich, Klein obtuvo una cátedra de geometría en Leipzig. Ahí tuvo
como colegas a muchos talentosos jóvenes docentes, incluyendo a von Dyck, Rohn,
Study y Engel. Los años de 1880 a 1886 que Klein pasó en Leipzig fueron fundamentales
en muchos aspectos para cambiar su vida. Como escribe D. E. Rowe:
Leipzig parecía ser un
soberbio bastión para construir el tipo de escuela que tenía en mente: una
escuela fuertemente basada en la abundante riqueza ofrecida por el enfoque
geométrico ofrecido por Riemann para la teoría de funciones. Pero eventos
imprevistos y su siempre frágil salud conspiraron en contra de sus planes. .. [En él había] dos almas... una que anhelaba la vida
académica tranquila, la otra que deseaba una vida activa de editor, maestro y
organizador de actividades científicas. ... Fue durante el otoño de 1882
que el primero de estos dos mundos lo aplastó ... su salud se colapsó
completamente y durante los años 1883 y 1884 sufrió una
depresión.
Habiendo casi acabado su carrera como
investigador en matemáticas, en 1886 aceptó Klein una cátedra en la Universidad
de Göttingen, donde enseñó hasta su retiro en 1913, pero entonces buscó volver
a convertir a Göttingen en el centro de investigación en matemáticas más
importante del mundo. Su propio papel como líder de la escuela de geometría de
Leipzig nunca se transfirió a Göttingen. Allí impartió una gran variedad de
cursos, principalmente sobre la interacción de las matemáticas con la física,
tales como mecánica y teoría del potencial.
Klein estableció un centro de investigación
en Göttingen que sirvió de modelo para los mejores centros de investigación en
matemáticas del mundo. Introdujo reuniones semanales de discusión, una sala de
lectura con una biblioteca de matemáticas. Klein trajo a Hilbert de Königsberg
para integrarlo a su equipo de investigación en Göttingen en 1895.
La fama de la revista Mathematische
Annalen se basa en las habilidades matemáticas y administrativas de Klein.
La revista había sido fundada originalmente por Clebsch, pero sólo bajo la
administración de Klein pudo rivalizar con el Crelle Journal y después
rebasarlo en importancia. En cierto sentido, estas revistas representaban a
grupos rivales: la escuela de matemáticas de Berlín que apoyaba el Crelle
Journal y la de los seguidores de Clebsch que apoyaba los Mathematischen
Annalen. Klein estableció un pequeño equipo de editores que se reunían
regularmente y tomaban decisiones democráticas. La revista se especializaba en
análisis complejo, geometría algebraica y teoría de invariantes. También
proporcionaba una importante opción para el análisis real y la recién creada
área de teoría de grupos.
Klein se retiró debido a su delicado estado
de salud en 1913. Sin embargo, continuó enseñando matemáticas en su casa
durante los años de la Gran Guerra.
Es un poco difícil de entender el significado de las contribuciones de
Klein en la geometría. Esto no es por que nos resulten extrañas hoy en día, más
bien al revés, se han convertido en una parte tan íntima de nuestro pensamiento
matemático actual, que resulta difícil percatarse de lo novedosos que eran sus
resultados, así como del hecho de que no eran aceptados universalmente por
todos sus contemporáneos.
Los primeros descubrimientos matemáticos
importantes de Klein los hizo en 1870 en colaboración con Lie. Descubrieron
propiedades fundamentales de las rectas asintóticas de la superficie de Kummer.
En colaboración posterior con Lie trabajó en una investigación sobre W-curvas,
que son curvas invariantes bajo un grupo de transformaciones proyectivas. De
hecho, Lie jugó un papel importante en el desarrollo de Klein, al introducirlo
al concepto de grupo, que jugó un papel central en su trabajo posterior. Es
justo añadir que Camille Jordan también tuvo parte importante en instruir a
Klein acerca de los grupos.
Durante su tiempo en Göttingen en 1871, Klein
hizo descubrimientos fundamentales sobre la geometría. Publicó dos artículos Sobre
la llamada geometría no euclidiana, en los que prueba que es posible
considerar la geometría euclidiana y la no euclidiana como casos especiales de
una superficie proyectiva con una sección cónica específica adjunta. Esto tiene
el notable corolario de que la geometría no euclidiana es consistente si y sólo
si la geometría euclidiana es consistente. El hecho de que la geometría no
euclidiana fuera a la sazón un tema todavía muy controvertido desapareció con
ello. Su status quedó desde entonces en un nivel idéntico al de la
geometría euclidiana. Cayley nunca aceptó las ideas de Klein creyendo que sus
argumentos eran circulares.
La síntesis de la geometría de Klein como el
estudio de las propiedades de un espacio que son invariantes bajo un cierto
grupo de transformaciones, conocida como el Erlanger Programm
(1872), influyó profundamente en el desarrollo matemático. Este programa
fue escrito en ocasión de la exposición inaugural de Klein al ser designado
profesor en Erlangen en 1872, aunque no fue realmente un discurso el que dio en
esa ocasión. El Programa de Erlangen proporcionó un enfoque unificado de la
geometría que ahora constituye la visión estándar aceptada.
Las transformaciones juegan un papel central
en las matemáticas modernas y Klein mostró cómo las propiedades esenciales de
una geometría dada pueden representarse por el grupo de transformaciones que
conservan esas propiedades. De este modo, el Programa de Erlangen definió la
geometría de manera que incluyese tanto la euclidiana como la no euclidiana.
El propio Klein veía su obra sobre teoría de
funciones como su principal contribución a las matemáticas. W. Burau y B.
Schoenberg escriben:
Klein consideraba su obra
sobre teoría de funciones como la cumbre de su
trabajo en matemáticas. Le debió parte de sus grandes éxitos a su desarrollo de
las ideas de Riemann y a la íntima alianza que forjó entre éstas ideas y la
concepción de la teoría de invariantes, de la teoría de números y el álgebra,
de la teoría de grupos y de la geometría multidimensional y la teoría de
ecuaciones diferenciales, especialmente en sus propios campos: funciones
modulares elípticas y funciones automorfas.
Klein consideró ecuaciones de grado mayor que
4 y se interesó particularmente en utilizar métodos trascendentes para resolver
la ecuación general de quinto grado. Después de trabajar sobre métodos debidos
a Hermite y Kronecker, produciendo resultados similares a los de Brioschi,
continuó para resolver completamente el problema usando el grupo del icosaedro.
Este trabajo lo llevó a considerar funciones modulares elípticas que estudió en
una serie de artículos.
Desarrolló una teoría de funciones
automorfas, y conectó resultados algebraicos y geométricos en su importante
libro de 1884 sobre el icosaedro. Sin embargo, Poincaré comenzó a publicar un
esbozo de su teoría de funciones en automorfas en 1881 y esto los llevó a una
competencia entre ambos:
Klein empezó a escribirse
con Poincaré y pronto surgió una amistosa rivalidad pues ambos buscaban
formular y probar un gran teorema de uniformización que sirviese como piedra
angular de su teoría. Trabajando bajo gran estrés, Klein tuvo éxito al formular
tal teorema y esbozar una estrategia para probarlo.
Sin embargo, fue durante este trabajo que la
salud de Klein se quebrantó, como ya mencionamos antes. Junto con Robert
Fricke, quien visitó Leipzig en 1884, Klein escribió un importante clásico de
cuatro volúmenes sobre funciones modulares automorfas y elípticas producido
durante los siguientes 20 años.
Debemos hacer mención también de la botella
de Klein, una superficie cerrada de un solo lado bautizada según su
descubridor.
En la década de 1890 Klein se interesó en la
física matemática, aunque a lo largo de toda su carrera mostró por su actitud
estar siempre cercano a esta área. De acuerdo con su interés escribió un
trabajo importante sobre el giróstato con A. Sommerfeld.
Posteriormente en su carrera, Klein se
interesó por la enseñanza escolar. W. Burau y B. Schoenberg escriben:
A partir de 1900 comenzó a interesarse vívidamente por la instrucción matemática
en niveles previos al universitario, mientras continuaba con sus funciones
académicas. Se tornó así en un precursor de la modernización de la instrucción
matemática en Alemania; en 1905 jugó un papel decisivo al formular los
“Meraner Lehrplan-entwürfe” (diseños de programas de estudios). El cambio
esencial que recomendó fue la introducción en las escuelas secundarias de
rudimentos de cálculo diferencial e integral y el concepto de función.
Klein resultó electo presidente de la
Comisión Internacional sobre Instrucción Matemática en el Congreso
Internacional de Matemáticos en Roma en 1908. Bajo su guía, la rama alemana de
la Comisión publicó muchos volúmenes sobre la enseñanza de las matemáticas en
todos los niveles.
Otro proyecto en el que trabajó hacia la
vuelta del siglo fue la Enzyklopädie der Mathematischen Wissenschaften (Enciclopedia
de las Ciencias Matemáticas). Tomó parte activa en este proyecto,
editando con K. Müller la sección de mecánica en cuatro volúmenes.
Klein fue elegido miembro de la Real Sociedad
de Gran Bretaña en 1885 y recibió la Medalla Copley de la Sociedad en 1912.
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